Codehorse Learn Free
আজ আমরা ৬ষ্ঠ শ্রেণির গণিত বইয়ের স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ অধ্যায়ের অনুশীলনী ১.২ সমাধান করব । এই অনুশীলনীতে তোমরা জানতে পারবে- বিভাজ্যতা,মৌলিক সংখ্যা,যৌগিক সংখ্যা এবং সহমৌলিক সংখ্যা ইত্যাদি।
বিভাজ্যতা সম্পর্কিত একটি সাধারণ নিয়ম: কয়েকটি সংখ্যা আলাদাভাবে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হলে, তাদের যোগফল ঐ নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে।
মৌলিক সংখ্যা: ১ হতে বৃহত্তর যে সকল সংখ্যার ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়া অপর কোনো গুণনীয়ক থাকে না, তাদের মৌলিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, ২, ৩, ৫,৭ সংখ্যাগুলোর ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো গুণনীয়ক নাই। অতএব এগুলো মৌলিক সংখ্যা।
যৌগিক সংখ্যা: যেসব সংখ্যার ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়াও অন্য গুণনীয়ক থাকে, তাদের যৌগিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, ৯, ১২, ১৪, ২৭ সংখ্যাগুলোর একটি গুণনীয়ক যথাক্রমে ৩, ৩, ২, ৩। অর্থাৎ এ সংখ্যাগুলোর ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়া আরও গুণনীয়ক আছে।
সহমৌলিক সংখ্যা: দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক (উৎপাদক) কেবলমাত্র ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক। যেমন, ১৪ = ২ × ৭, ১৫ = ৩ × ৫
এখানে, ১৪ ও ১৫ এর মধ্যে ১ ছাড়া সাধারণ গুণনীয়ক নাই। অতএব, এরা সহমৌলিক সংখ্যা।
তাহলে চলো আমরা সমাধান করি ৬ষ্ঠ শ্রেণির গণিত স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ অধ্যায়ের অনুশীলনী ১.২ ।
অনুশীলনী ১.২
প্রশ্ন- ১: ৩০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো লেখ।
সমাধান: আমরা জানি, যেসব সংখ্যার গুণনীয়ক ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো গুণনীয়ক থাকে না তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
৩০ থেকে ৭০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো : ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭।
উত্তর: ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭।
প্রশ্ন- ২: সহমৌলিক জোড়া নির্ণয় কর:
(ক) ২৭, ৫৪
সমাধান:
২৭ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৩, ৯, ২৭
৫৪ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮, ২৭, ৫৪।
∴ ২৭ ও ৫৪ এর মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক ১, ৩, ৯ ও ২৭ বিদ্যমান।
সুতরাং তারা সহমৌলিক নয়।
উত্তর: ২৫ ও ৫৪ সহমৌলিক নয়।
(খ) ৬৩, ৯১
সমাধান:
৬৩ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৩, ৭, ৯, ২১, ৬৩
৯১ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৭, ১৩, ৯১
∴ ৬৩ ও ৯১ এর মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক ১ ও ৭ বিদ্যমান।
সুতরাং তারা সহমৌলিক নয়।
উত্তর: ৬৩ ও ৯১ সহমৌলিক নয়।
(গ) ১৮৯, ২১০
সমাধান:
১৮৯ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৩, ৭, ৯, ২১, ২৭, ৬৩, ১৮৯
২১০ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৩, ৫, ৬, ৭, ১০, ১৪, ১৫, ২১, ৩০, ৩৫, ৪২, ৭০, ১০৫, ২১০
∴ ১৮৯ ও ২১০ এর মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক ১, ৩, ৭ ও ২১ বিদ্যমান।
সুতরাং, তারা সহমৌলিক নয়।
উত্তর: ১৮৯ ও ২১০ সহমৌলিক নয়।
(ঘ) ৫২, ৯৭
সমাধান:
৫২ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ২, ৪, ২৬, ৫২
৯৭ এর গুণনীয়কগুলো হলো ১, ৯৭
∴ ৫২ ও ৯৭ এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
সুতরাং তারা সহমৌলিক।
উত্তর: ৫২ ও ৯৭ সহমৌলিক।
প্রশ্ন- ৩: নিচের কোন সংখ্যাগুলো নির্দেশিত সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য?
(ক) ৩ দিয়ে : ৫৪৫, ৬৭৭৪, ৮৫৩৫
(খ) ৪ দিয়ে : ৮৫৪২, ২১৮৪, ৫২৭৪
(গ) ৬ দিয়ে : ২১৮৪, ১০৭৪, ৭৮৩২
(ঘ) ৯ দিয়ে : ৫০৭৫, ১৭৩৭, ২১৯৩
সমাধান:
(ক) আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্যহলে, ঐ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
উত্তর: ৫৪৫, ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
উত্তর: ৬৭৭৪,৩ দ্বারা বিভাজ্য।
উত্তর: ৮৫৩৫, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
(খ) আমরা জানি, কোনো সংখ্যার একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে, ঐ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
আবার একক ও দশক উভয় স্থানের অঙ্ক ০ হলেও প্রদত্ত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৮৫৪২ সংখ্যায় একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা হচ্ছে ৪২।
এখন, ৪২ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
উত্তর: ৮৫৪২, ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
২১৮৪ সংখ্যায় একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা হচ্ছে ৮৪।
আবার, ৮৪ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
উত্তর: ২১৮৪, ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
৫২৭৪ সংখ্যায় একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা হচ্ছে ৭৪।
আবার, ৭৪ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
উত্তর: ৫২৭৪, ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
(গ) আমরা জানি, কোনো সংখ্যা ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৬ দ্বারাও বিভাজ্য হবে।
২১৮৪ সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৪ জোড় সংখ্যা।
∴ ২১৮৪, ২ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল = (২ + ১ + ৮ + ৪) = ১৫
∴ অঙ্কগুলোর যোগফল ১৫ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
∴ ২১৮৪, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
যেহেতু, সংখ্যাটি ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য সেহেতু, সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
উত্তর: ২১৮৪, ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
১০৭৪ সংখ্যায় একক স্থানীয় অঙ্ক ৪ জোড় সংখ্যা।
∴ ১০৭৪, ২ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ০ + ৭ + ৪ = ১২।
∴ অঙ্কগুলোর যোগফল ১২ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
∴ ১০৭৪, ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
যেহেতু, সংখ্যাটি ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য সেহেতু, সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
উত্তর: ১০৭৪, ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
৭৮৩২ সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ২ জোড় সংখ্যা।
∴ ৭৮৩২, ২ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল = ৭ + ৮ + ৩ + ২ = ২০
∴ অঙ্কগুলোর যোগফল ২০ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
∴ ৭৮৩২, ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
৭৮৩২ সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হলেও ৩ দ্বারা বিভাজ্য না হওয়ায় ৭৮৩২, ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
উত্তর: ৭৮৩২, ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
(ঘ) আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে, প্রদত্ত সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৫০৭৫, ৯ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা নির্ণয়ের জন্য সংখ্যার অঙ্কগুলোকে যোগ করি।
প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল = (৫ + ০ + ৭ + ৫) = ১৭।
∴ অঙ্কগুলোর যোগফল ১৭ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
উত্তর: ৫০৭৫, ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১৭৩৭, ৯ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা নির্ণয়ের জন্য সংখ্যার অঙ্কগুলোকে যোগ করি।
প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ৭ + ৩ + ৭ = ১৮
∴ অঙ্কগুলোর যোগফল ১৮ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
উত্তর: ১৭৩৭, ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
২১৯৩, ৯ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা নির্ণয়ের জন্য সংখ্যার অঙ্কগুলোকে যোগ করি।
প্রদত্ত সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল = (২ + ১ + ৯ + ৩) = ১৫
∴ অঙ্কগুলোর যোগফল ১৫ যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
উত্তর: ২১৯৩, ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ অনুশীলনী ১.২
প্রশ্ন- ৪: নিচের __ চিহ্নিত স্থানে কোন কোন অঙ্ক বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে?
(ক) ৫__ ৪৭২৩ (খ) ৮১২__ ৭৪ (গ) __৪১৫৭৮ (ঘ) ৫৭৪২__
সমাধান: আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৮১২__ ৭৪ এ ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল = (৮ + ১ + ২ + ৭ + ৪) = ২২
∴ ২২ = ১১ × ২; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
কিন্তু ২২ এর কাছাকাছি এবং ২২ অপেক্ষা বড় ৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ২৭।
∴ অঙ্কটি (২৭ − ২২) = ৫
উত্তর: __এর স্থানে ৫ বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
__৪১৫৭৮ এ ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল = (৪ + ১ + ৫ + ৭ + ৮) = ২৫।
∴ ২৫ = ৫ × ৫; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
কিন্তু ২৫ এর কাছাকাছি এবং ২৫ অপেক্ষা বড় ৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হবে ২৭।
∴ অঙ্কটি (২৭ − ২৫) = ২
উত্তর: __এর স্থানে ২ বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৫৭৪২__ এ ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল = (৫ + ৭ + ৪ + ২) = ১৮
∴ ১৮ = ৯ × ২ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
∴ এর স্থানে ০ বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
আবার, অঙ্কগুলোর যোগফলের সাথে ৯ যোগ করলে হয় ১৮ + ৯ = ২৭।
∴ ২৭ = ৯ − ৩ ; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
উত্তর: __এর স্থানে ০ অথবা ৯ বসালে সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
সমাধান: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে, ঐ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এখন, ১০০০০ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল = ১ + ০ + ০ + ০ + ০ = ১; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
কিন্তু ১ এর কাছাকাছি এবং ১ অপেক্ষা বড় ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হবে ৩।
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির সাথে (৩ – ১) বা ২ যোগ করলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
নির্ণেয় পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি (১০০০০ + ২) = ১০০০২
উত্তর: ১০০০২
সমাধান: সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা ৯৯৯৯৯৯৯
আমরা জানি, কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি সেই সংখ্যা ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
এখন, ৯৯৯৯৯৯৯ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল = (৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯ + ৯) = ৬৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
কিন্তু ৯৯৯৯৯৯৯ এর একক স্থানীয় অঙ্কটি জোড় বা শূন্য না হওয়ায় তা ২ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
∴ ৯৯৯৯৯৯৯ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলেও ২ দ্বারা বিভাজ্য না হওয়ায় তা ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
এখন, যেহেতু ৯৯৯৯৯৯৯, ৩ দ্বারা বিভাজ্য সেহেতু সংখ্যাটি থেকে ৩ বিয়োগ করলে সাত অংকের ৩ দ্বারা বিভাজ্য আরেকটি বৃহত্তম সংখ্যা পাওয়া যাবে।
∴ প্রাপ্ত সংখ্যাটি (৯৯৯৯৯৯৯ – ৩) = ৯৯৯৯৯৯৬।
প্রাপ্ত সংখ্যাটির একক স্থানীয় সংখ্যাটি ৬, যা একটি জোড় সংখ্যা।
∴ ৯৯৯৯৯৯৬, ২ দ্বারা বিভাজ্য।
৯৯৯৯৯৯৬, সংখ্যাটি একই সাথে ৩ ও ২ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় তা ৬ দ্বারাও বিভাজ্য।
উত্তর: ৬ দ্বারা বিভাজ্য সাত অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ৯৯৯৯৯৯৬।
সমাধান: ৩, ০, ৫, ২, ৭ অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যাটি ৭৫৩২০
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে, ঐ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এখানে, ৭৫৩২০ সংখ্যাটির একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যা ২০।
২০ = ৫ × ৪; যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
∴ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, আমরা জানি, কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০ বা ৫ হলে, সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
এখানে, ৭৫৩২০ সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক ০।
∴ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
উত্তর: ৭৫৩২০ বৃহত্তম সংখ্যাটি ৪ ও ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
