৯ম-১০ম শ্রেণির গণিত অনুশীলনী ২.১ সমাধান

আজ আমরা ৯ম-১০ম শ্রেণির গণিত বইয়ের সেট ও ফাংশন অধ্যায়ের অনুশীলনী ২.১ সমাধান করব । এই অধ্যায়ে জানতে পারবে-সেট , সেট প্রকাশের পদ্ধতি , সসীম সেট , অসীম সেট , ফাঁকা সেট , ভেনচিত্র , উপসেট , প্রকৃত উপসেট , সেটের সমতা , সেটের অন্তর , সার্বিক সেট , পূরক সেট , সংযোগ সেট , ছেদ সেট , নিচ্ছেদ সেট , শক্তি সেট , ক্রমজোড় , কার্তেসীয় গুণজ ইত্যাদি।

অনুশীলনী ২.১ সমাধান

১। নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর: 
ক) {x ∈ N : x² > 9 এবং x³<130}
সমাধান: যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ 9 অপেক্ষা বড় এবং ঘন 130 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট।
আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,…}

যদি x = 1, তবে x² = 1² = 1 ≯ 9 এবং  x³ = 1³ = 1 < 130
যদি x = 2, তবে x² = 2² = 4 ≯  9 এবং  x³ = 2³ = 8 < 130
যদি x = 3, তবে x² = 3² = 9 ≯ 9 এবং  x³ = 3³ = 27 < 130
যদি x = 4, তবে x² = 4² = 16>9 এবং  x³ = 4³ = 64 < 130
যদি x = 5, তবে x² = 5² = 25>9 এবং  x³ = 5³ = 125 < 130
যদি x = 6, তবে x² = 6² = 36>9 এবং  x³ = 6³ = 216 ≮ 130
∴ নির্ণেয় সেট ={4, 5}$= \{4, 5\}$

খ) {x ∈ Z : x²>5 এবং x³≤36}
সমাধান: যে সকল পূর্ণসংখ্যার বর্গ 5 অপেক্ষা বড় এবং ঘন 36 অপেক্ষা বড় নয় তাদের সেট।
আমরা জানি, পূর্ণসংখ্যার সেট Z = {….,-3,-2,-1,0,1,2,3,…..}

যদি x = 0, তবে x² = 0² = 0 ≯  5 এবং  x³ = 0³ = 0 < 36
যদি x = ±1, তবে x² = (±1)² = 1 ≯  5 এবং  x³ = (±1)³ = ±1 < 36
যদি x = ±2, তবে x² = (±2)² = 4 ≯  5 এবং  x³ = (±2)³ = ±8 < 36
যদি x = ±3, তবে x² = (±3)² = 9>5 এবং  x³ = (±3)³ = ±27 < 36
যদি x = -4, তবে x² = (-4)² = 16>5 এবং  x³ = (-4)³ = -64 < 36
যদি x = 4, তবে x² = 4² = 16>5 এবং  x³ = 4³ = 64 ≮ 36

সুতরাং, -4 এর ছোট সমস্ত ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে।
∴ নির্ণেয় সেট ={….,-5,-4,-3,3}

গ) {x ∈ N : x,36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক}
সমাধান: এখানে, N={1,2,3,4…….}
36 = 1✕36 = 2✕18 = 3✕12 = 4✕9 = 6✕6
36 এর গুণনীয়কগুলো হলো = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 18, 36
এবং 6 এর গুণিতক হলোঃ 6, 12, 18, 36……..
∴ নির্ণেয় সেট={6, 12, 18, 36}

ঘ) {x ∈ N : x³>25 এবং x⁴<264}
সমাধান: যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার ঘন 25 অপেক্ষা ছোট এবং চতুর্ঘাত 264 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট।

যদি x = 1, তবে x³ = 1³ = 1 ≯ 25 এবং  x⁴ = 1⁴ = 1 < 264
যদি x = 2, তবে x³ = 2³ = 8 ≯ 25 এবং  x⁴ = 2⁴ = 16 < 264
যদি x = 3, তবে x³ = 3³ = 27>25 এবং  x⁴ = 3⁴ = 81 < 264
যদি x = 4, তবে x³ = 4³ = 64>25 এবং  x⁴ = 4⁴ = 256 < 264
যদি x = 5, তবে x³ = 5³ = 125>25 এবং  x⁴ = 5⁴ = 625 ≮ 264

সুতরাং, শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ: 3 , 4
∴ নির্ণেয় সেট = {3,4}

২। নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর: 
ক) {3,5,7,9,11}
সমাধান: ধরি, A={3,5,7,9,11}
তাহলে, x এর সর্বনিম্ন মান 3 ও সর্বোচ্চ মান 11 এবং এরা বিজোড় সংখ্যা।
∴ A = {x ∈ N : x, স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যেখানে, 3≤x≤11}

খ) {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
সমাধান: ধরি, A={1,2,3,4,6,9,12,18,36}
তাহলে, x এর মানগুলো 36 এর গুণনীয়ক।
∴ A={x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক}

গ) {4,8,12,16,20,24,28,32,36,40}
সমাধান: ধরি, A={4,8,12,16,20,24,28,32,36,40}
তাহলে, x এর মানগুলো 4 এর গুণিতক এবং x≤40.
∴ A={x ∈ N : x, 4 এর গুণিতক এবং x≤40}

ঘ) {±4, ±5, ±6}
সমাধান: ধরি, A={±4, ±5, ±6}
তাহলে x এর মান পূর্ণসংখ্যা এবং যার বর্গ 16 অপেক্ষা বড় বা সমান এবং ঘন 216 অপেক্ষা ছোট বা সমান।
∴ A={x ∈ Z : x²≥16 এবং x³≤216}

৩। A={2,3,4} এবং B={1,2,a} এবং C={2,a,b} হুলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় কর:

ক) B\C
= {1,2,a}\{2,a,b}
= {1,}

খ) A U B
= {2,3,4} ∪ {1,2,a}
= {1,2,3,4,a}

গ) A ∩ C
= {2,3,4} ∩ {2,a,b}
= {2}

ঘ) A U (B ∩ C)
= {2,3,4} ∪ ({1,2,a} ∩ {2,a,b})
= {2,3,4} ∪ {2,a}
= {2,3,4,a}

ঙ) A ∩ (B ∪ C)
= {2,3,4} ∩ ({1,2,a} ∪ {2,a,b})
= {2,3,4} ∩ {1,2,a,b}
= {2}

৪। U = {1,2,3,4,5,6,7}, A = {1,3,5}, B = {2,4,6} এবং C = {3,4,5,6,7} হলে, নিন্মলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই কর:
ক) (A ∪ B)’=A’ ∩ B’
সমাধান: দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
L.H.S = (A ∪ B)’ = U-( A ∪ B)
এখন, A ∪ B ={1,3,5} ∪ {2,4,6} = {1,2,3,4,5,6}
∴ U – ( A ∪ B) = {1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,3,4,5,6}={7}
আবার, R.H.S = A’ ∩ B’
A’ = U-A = {1,2,3,4,5,6,7}-{1,3,5}={2,4,6,7}
B’ = U-B = {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7}
∴ A’ ∩ B’ = {2,4,6,7} ∩ {1,3,5,7}={7}
∴ L.H.S = R.H.S [Proved]

খ) (B ∩ C)’=B’ ∪ C’
সমাধান: দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
এখন, L.H.S=(B ∩ C)’ = U-(B ∩ C)
তাহলে, (B ∩ C)= {2,4,6}∩{3,4,5,6,7}={4,6}
∴ U-(B ∩ C)= {1,2,3,4,5,6,7}-{4,6}={1,2,3,5,7}
আবার, R.H.S = B’ ∪ C’
তাহলে, B’=U-B= {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7)
C’=U-C= {1,2,3,4,5,6,7}-{3,4,5,6,7}={1,2}
∴ B’ ∪ C’={1,3,5,7} ∪ {1,2}={1,2,3,5,7}
∴ L.H.S = R.H.S [Proved]

গ) (A ∪ B) ∩ C=(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
সমাধান: দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
L.H.S=(A ∪ B) ∩ C
এখন, (A ∪ B) = {1,3,5}∪{2,4,6}={1,2,3,4,5,6}
∴(A ∪ B) ∩ C={1,2,3,4,5,6} ∩ {3,4,5,6,7}={3,4,5,6}
R.H.S=(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
এখন, (A ∩ C)= {1,3,5} ∩ {3,4,5,6,7}={3,5}
(B ∩ C)= {2,4,6} ∩ {3,4,5,6,7}={4,6}
∴ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)= {3,5} ∪ {4,6}={3,4,5,6}
∴ L.H.S = R.H.S [Proved]

ঘ) (A ∩ B) ∪ C=(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
সমাধান: দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}, A={1,3,5}, B={2,4,6} এবং C={3,4,5,6,7}
L.H.S=(A ∩ B) ∪ C
এখন, A ∩ B={1,3,5} ∩ {2,4,6}={}
∴ (A ∩ B) ∪ C ={} ∪ {3,4,5,6,7}={3,4,5,6,7}
R.H.S=(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
এখন, (A ∪ C)= {1,3,5}∪{3,4,5,6,7}={1,3,4,5,6,7}
এবং, (B ∪ C)={2,4,6} ∪ {3,4,5,6,7}={2,3,4,5,6,7}
∴ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)= {1,3,4,5,6,7} ∩ {2,3,4,5,6,7}={3,4,5,6,7}
∴ L.H.S = R.H.S [Proved] 

৫। Q={x,y} এবং R={m,n,l} হলে, P(Q) এবং P(R) নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে, Q = {x,y},R = {m,n,l}
∴ P(Q) = {{x,y},{x},{y},∅}
∴ P(R) = {{m,n,l},{m,n},{m,l},{n,l},{m},{n},{l},{∅}}

৬। A={a,b}, B={a,b,c} এবং C=A ∪ Bহলে, দেখাও যে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2ⁿ ,যেখানে n হচ্ছে C এর উপাদান সংখ্যা।
সমাধান: দেওয়া আছে, A = {a,b}, B = {a,b,c} এবং C = A ∪ B
C = A ∪ B = {a,b}∪{a,b,c} = {a,b,c} এর উপাদান সংখ্যা 3
∴ P(C) = {{a,b,c},{a,b},{b,c},{a,c},{a},{b},{c},∅}এর উপাদান সংখ্যা 8 = 2³ বা 2ⁿ [দেখানো হলো]

৭। ক) (x-1,y+2) = (y-2,2x+1) হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে, (x-1,y+2) = (y-2,2x+1)
ক্রমজোড়ের সংজ্ঞানুসারে,
x-1 = y-2……………(i)
y+2 = 2x+1…………(ii)
(i) নং হতে পাই,
x-1 = y-2
বা, x = y-1———-(iii)
x এর মান সমীঃ (ii) এ বসাই,
y+2 = 2(y-1)+1
বা, y+2 = 2y-2+1
বা, y+2 = 2y-1
বা, y-2y = -1-2
বা, -2y = -3
বা, y = 3
y = 3, সমীঃ (iii) এ বসাই,
x = 3-1 = 2
∴ (x,y)=(2,3) [Ans.]

খ) (ax-cy, a2-c2) = (0,ay-cx) হলে (x,y) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে, (ax-cy, a2-c2) = (0,ay-cx)
ক্রমজোড়ের সংজ্ঞানুসারে, ax-cy=0………(i)
এবং a²-c²= ay-cx …….(ii)
(i) নং হতে পাই,
ax-cy = 0
বা, ax = cy
বা, x = cy/a……….(iii)
x এর মান সমীঃ (ii) এ বসাই,
a²-c² = ay-c✕(cy/a)
বা, a²-c² = ay-c²y/a
বা, a²-c² = (a²y-c²y)/a
বা, a²-c² = y(a²-c²)/a
বা, 1 = y/a
বা, y = a
y = a, সমীঃ (iii) এ বসাই,
x = c.a/a
বা, x = c
∴ (x,y)=(c,a) [Ans.]

গ) (6x-y,13) = (1,3x+2y) হলে, (x,y) নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে, (6x-y,13) = (1,3x+2y)
ক্রমজোড়ের সংজ্ঞানুসারে, 6x-y = 1…………..(i)
এবং 3x+2y = 13…………..(ii)
(i) কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই.
12x-2y = 2……………..(iii)
(ii)+(iii) করে পাই,
3x+2y + 12x-2y = 13 + 2
বা, 15x = 15
বা, x = 1
x এর মান সমীঃ (ii) এ বসাই,
3✕1 + 2y = 13
বা, 2y = 13-3
বা, y = 10/2
বা, y=5
∴ (x,y) = (1,5) [Ans.] 

৮। ক) P = {a}, Q = {b,c} হলে, P×Q এবং Q×P নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে,P = {a}, Q = {b,c}
P×Q = {a}×{b,c} = {(a,b),(a,c)}
Q×P = {b,c}×{a} = {(b,a),(c,a)}

খ) A = {3,4,5}, B = {4,5,6} এবং C = {x,y} হলে, (A∩B)×C নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে, A = {3,4,5}, B = {4,5,6} এবং C = {x,y}
এখন, (A∩B)×C
= ({3,4,5}∩{4,5,6})×{x,y}
= {4,5}×{x,y}
= {(4,x),(4,y),(5,x),(5,y)}

গ) P = {3,5,7}, Q = {5,7} এবং R = P\Q হলে, (PUQ)×R নির্ণয় কর।
সমাধান: দেওয়া আছে, P = {3,5,7}, Q = {5,7} এবং R = P\Q
R = P\Q = {3,5,7}\{5,7}={3}
এখন, (PUQ)×R
= ({3,5,7}U{5,7})×R
= {3,5,7}×{3}
= {(3,3),(5,3),(7,3)}

৯। A ও B যথাক্রমে 35 এবং 45 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, A ∪ B ও A ∩ B নির্ণয় কর।
সমাধান:
35 এর গুণনীয়ককের উপাদান গুলো হলোঃ 1,5,7,35
45 এর গুণনীয়ককের উপাদান গুলো হলোঃ 1,3,5,9,15,45
∴ A = {1,5,7,35}এবং B = {1,3,5,9,15,45}
∴ A ∪ B
= {1,5,7,35} ∪ {1,3,5,9,15,45}
= {1,3,5,7,9,15,35,45}
আবার, A ∩ B
= {1,5,7,35} ∩ {1,3,5,9,15,45}
= {1,5}

১০। যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 এবং 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, এদের সেট নির্ণয় কর।
সমাধান: যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 এবং 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যাগুলো 31 অপেক্ষা বড় এবং সে সংখ্যাগুলো দ্বারা (346-31) = 315 এবং (556-31) = 525 বিভাজ্য হবে বা, সংখ্যাগুলো 315 ও 525 এর সাধারন গুণনীয়ক।
মনে করি, 31অপেক্ষা বড় 315 এর গুণনীয়কগুলোর সেট A এবং 31 অপেক্ষা বড় 525 এর গুণনীয়কগুলোর সেট B
315 এর গুণনীয়কগুলো: 1,3,5,7,9,15,21,35,45,63,105,315
∴ A = {35,45,63,105,315}
525 এর গুণনীয়কগুলো: 1,3,5,7,15,21,25,35,75,105,175,525
∴ B = {35,75,105,175,525}
∴ A ∩ B = {35,105,315} ∩ {35,75,105,175,525} = {35,105} [Ans.]

১১। কোনো শ্রেণির 30 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 20 জন ফুটবল এবং 15 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে। দুটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা 10 । কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না তা ভেন চিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।
সমাধান:
নিচের আয়তাকার ভেনচিত্রটি 30 জন শিক্ষার্থীর সেট S নির্দেশ করে । F ও C দ্বারা নির্দেশিত বৃত্তাকার ক্ষেত্র দুইটি যথাক্রমে ফুটবল এবং ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে এমন শিক্ষার্থীর সেট নির্দেশ করে।

ভেনচিত্রে, 30 জন শিক্ষার্থীর সংখ্যার সেট S = 30 জন
যারা ফুটবল খেলা পছন্দ করে তাদের সেট ,F = 20 জন
যারা ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে তাদের সেট ,C = 15 জন
দুটি খেলাই পছন্দ করে তাদের সেট , P₂ = F ∩ C = 10 জন
P₁ = শুধু ফুটবল খেলা পছন্দ করে শিক্ষার্থীদের সেট এবং এর সদস্য সংখ্যা =20-10=10
P3 = শুধু ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে শিক্ষার্থীদের সেট এবং এর সদস্য সংখ্যা =15-10=5
এক এবং উভয় খেলা পছন্দ শিক্ষার্থীদের সংখ্যা =10+10+5=25
দুইটি খেলাই পছন্দ করে না করা শিক্ষার্থীদের সংখ্যা =30-25=5
∴ 5 জন শিক্ষার্থী দুইটি খেলাই পছন্দ করে না। [Ans.]

১২। 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় 65 শিক্ষার্থী বাংলায়, 48 শিক্ষার্থী বাংলা ও ইংরেজি উভয় বিষয়ে পাশ এবং 15 শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে।
ক) সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ ওপরের তথ্যগুলো ভেনচিত্রে প্রকাশ কর।
সমাধান: 
ভেনচিত্রে আয়তাকার ক্ষেত্রটি 100 জন পরীক্ষার্থীর সেট U এবং পরস্পরচ্ছেদী দুইটি বৃত্তক্ষেত্র দ্বারা বাংলা ও ইংরেজিতে পাস পরীক্ষার্থীদের সেট যথাক্রমে B ও E নির্দেশ করা হলো।

ভেনচিত্রে ৪টি নিশ্ছেদ সেটে বিভক্ত হয়েছে, যাদের P,Q,R ও F দিয়ে প্রকাশ করা হলো।

খ) শুধু বাংলায় ও ইংরেজিতে পাশ করেছে তাদের সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান:
এখানে, Q = B ∩ E = উভয় বিষয়ে পাস পরীক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 48
P = শুধু বাংলায় পাস পরীক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা, 65-48=17
R = শুধু ইংরেজিতে পাস পরীক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা =100-(17+48+15)=20
∴17,20 [Ans.]

গ) উভয় বিষয়ে পাশ এবং উভয় বিষয়ে ফেল সংখ্যাদ্বয়ের মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট দুইটির সংযোগ সেট নির্ণয় কর।
সমাধান:
উভয় বিষয়ে পাস করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 48 এবং উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর সংখ্যা = 15
ধরি, 48 এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট M এবং 15 এর মৌলিক গুণনীয়কসমূহের সেট N
৪৮ এর মৌলিক গুণনীয়কগুলো হলো ২, ৩
এবং ১৫ এর মৌলিক গুণনীয়ক হলো ৩, ৫
∴ M = {2,3} এবং N = {3,5}
∴M∪N={2,3}∪{3,5}={2,3,5} [Ans.]

অধ্যায়টি বুঝতে ভিডিও দেখুন👉সেট ও ফাংশন

আরও পড়ুন: ৯ম-১০ম শ্রেণির সকল বই ২০২৫ | Class 9-10 All Book 2025 (PDF)